Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_e^a (1)/(x ln^3 x) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = ln x , t a l q u e d u = (1)/(x) d x

E:

Quando x = a -> u = ln a

Quando x = e -> u = ln e = 1

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> + oo)(lim) int_e^a (1)/(x ln^3 x) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_1^(ln a) (1)/(u^3) d u

Portanto:

underset(a -> + oo)(lim) int_1^(ln a) (1)/(u^3) d u = underset(a -> + oo)(l i m) (- (1)/(2 u^2),[[ln a],[1]])

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x = - (1)/(2) [underset(a -> + oo)(l i m) ((1)/((ln a)^2) - 1)] = - (1)/(2) (0 - 1)

Que agora resulta em:

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x = (1)/(2)

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

int_e^(+ oo) (1)/(x ln^3 x) d x = (1)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Investigar as integrais impróprias.
Investigar as integrais impróprias.
Investigar as integrais impróprias.
Dar um exemplo de uma função contínua por partes definida no intervalo - 4,4
Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes. f x = sen ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ π 2 1 + cos ⁡ x , π 2x ≤ π f x = 1 x + 1 , 0 ≤ x ≤ 2 x - 1 2 , 2x ≤ 4 f x = tg ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 4 cos ⁡ 3 x , π