Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Para os casos em que o intervalo de integração vai de - x a + x , deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas no valor em que a função não existe. Assim, ela resultará em:

I = int_(- 2)^2 (x d x)/(1 - x) = int_(- 2)^1 (x d x)/(1 - x) + int_1^2 (x d x)/(1 - x)

E, como a função é indefinida em x = 1 , tem-se:

I = underset(a -> 1^-)(lim) int_(- 2)^a (x d x)/(1 - x) + underset(b -> 1^+)(l i m) int_b^2 (x d x)/(1 - x)

Resolvendo a integral por substituição simples fazendo u = 1 - x e d u = - d x , obtém-se:

int (x d x)/(1 - x) = int (1 - u)/(u) (- d u) = int (u - 1)/(u) d u

Separando em duas integrais:

int 1 d u - int (1)/(u) d u = u - ln |u|

E retornando à variável original:

I = underset(a -> 1^-)(lim) [1 - x - ln |1 - x|] | [[a],[-,2]] + underset(b -> 1^+)(l i m) [1 - x - ln |1 - x|] | [[2],[b]]

Analisando o primeiro limite apenas e substituindo os limites de integração, podemos ter:

I = underset(a -> 1^-)(lim) [(1 - a - ln |1 - a|) - (1 + 2 - ln |3|)] +

I = [(0 - (- oo)) - (3 - l n 3)] = + oo

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, visto que um dos limites não existe, não é necessário resolver o outro limite já que isso torna a integral divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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Expresse a integral imprópria como um limite e, então, calcule esse limite com um CAS. Confirme sua resposta calculando diretamente as integrais com um CAS. ∫ 0 + ∞ x e - 3 x d x
Em cada item, confirme o resultado com um CAS. ∫ 0 + ∞ s e nx x d x = π 2
Em cada item, tente calcular exatamente a integral com um CAS. Se sua resposta não for numericamente simples, então use o CAS para encontrar uma aproximação numérica da integral. ∫ 1 + ∞ ln ⁡ x e x d
Em cada item, tente calcular exatamente a integral com um CAS. Se sua resposta não for numericamente simples, então use o CAS para encontrar uma aproximação numérica da integral. ∫ 0 + ∞ 1 1 + x 3 d x
Expresse a integral imprópria como um limite e, então, calcule esse limite com um CAS. Confirme sua resposta calculando diretamente as integrais com um CAS. ∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x