Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Para os casos em que o intervalo de integração vai de - x a + x , deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas no valor em que a função não existe. Assim, ela resultará em:

I = ∫ - 2 2 x d x 1 - x = ∫ - 2 1 x d x 1 - x + ∫ 1 2 x d x 1 - x

E, como a função é indefinida em x = 1 , tem-se:

I = lim a → 1 - ⁡ ∫ - 2 a x d x 1 - x + l i m b → 1 + ∫ b 2 x d x 1 - x

Resolvendo a integral por substituição simples fazendo u = 1 - x e d u = - d x , obtém-se:

∫ x d x 1 - x = ∫ 1 - u u - d u = ∫ u - 1 u d u

Separando em duas integrais:

∫ 1 d u - ∫ 1 u d u = u - ln ⁡ u

E retornando à variável original:

I = lim a → 1 - ⁡ 1 - x - ln ⁡ 1 - x | a - 2 + l i m b → 1 + 1 - x - ln ⁡ 1 - x | 2 b

Analisando o primeiro limite apenas e substituindo os limites de integração, podemos ter:

I = lim a → 1 - ⁡ 1 - a - ln ⁡ 1 - a - 1 + 2 - ln ⁡ 3 +

I = 0 - - ∞ - 3 - l n 3 = + ∞

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, visto que um dos limites não existe, não é necessário resolver o outro limite já que isso torna a integral divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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