Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_0^a x e^(- x^2) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = - x^2 , t a l q u e d u = - 2 x d x

E:

Quando x = a -> u = - a^2

Quando x = 0 -> u = 0

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> + oo)(lim) int_0^a x e^(- x^2) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_0^(- a^2) e^u (- (d u)/(2))

Portanto:

underset(a -> + oo)(lim) int_0^(- a^2) e^u (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) [underset(a -> + oo)(l i m) (e^u,[[-,a^2],[0]])]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) [underset(a -> + oo)(l i m) (e^(- a^2) - e^0)] = - (1)/(2) (0 - 1)

Que agora resulta em:

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x = (1)/(2)

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

int_0^(+ oo) x e^(- x^2) d x = (1)/(2)

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