Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x e - x 2 d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = - x 2 ,   t a l   q u e   d u = - 2 x d x

E:

Quando x = a → u = - a 2

Quando x = 0 → u = 0

Dessa forma, ela será reescrita como:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x e - x 2 d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 - a 2 e u - d u 2

Portanto:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 - a 2 e u - d u 2 = - 1 2 l i m a → + ∞ e u - a 2 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x = - 1 2 l i m a → + ∞ e - a 2 - e 0 = - 1 2 0 - 1

Que agora resulta em:

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x = 1 2

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x = 1 2

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