Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = int_0^5 (x d x)/(sqrt(25 - x^2))

E pretende-se verificar:

underset(a -> 5^-)(l i m) int_0^a (x d x)/(sqrt(25 - x^2)) = underset(b -> 5^+)(l i m) int_0^b (x d x)/(sqrt(25 - x^2))

A integral pode ser resolvida através do método da substituição simples em que u = 25 - x^2 e d u = - 2 x d x :

int (x d x)/(sqrt(25 - x^2)) = int (1)/(sqrt(u)) (- (d u)/(2)) = - sqrt(u)

Substituindo para a variável original, tem-se:

I^- = underset(a -> 5^-)(l i m) [- sqrt(25 - x^2)] | [[a],[0]]

Substituindo os limites de integração:

I^- = - underset(a -> 5^-)(l i m) [sqrt(25 - a^2) - sqrt(25)] = - [0^- - 5]

I^- = 5

E:

I^+ = - underset(b -> 5^+)(l i m) [sqrt(25 - b^2) - sqrt(25)] = - [0^+ - 5]

Como os limites laterais têm o mesmo resultado, então o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_0^5 (x d x)/(sqrt(25 - x^2)) = 5

A integral é convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada item, confirme o resultado com um CAS. int_(- oo)^(+ oo) e^(- x^2) d x = sqrt(pi)
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 2 x x - 1 d x