Calcule as integrais que convirjam.

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9 = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 3 d x x 2 + 9

Passo 3

Podemos resolver essa integral através da fórmula 2 2 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON.

Logo:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 3 d x x 2 + 9 = lim a → - ∞ ⁡ 1 3 a r c t g x 3 3 a

Portanto:

lim a → - ∞ ⁡ 1 3 a r c t g x 3 3 a = 1 3 lim a → - ∞ ⁡ a r c t g x 3 3 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9 = 1 3 lim a → - ∞ ⁡ a r c t g 1 - a r c t g a = 1 3 π 4 - - π 2

Logo:

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9 = π 4

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9 = π 4

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