Encontrar a área sob o gráfico da curva y = 1 / (x + 1)^2, x >= 1 .

Passo 1

Como queremos determinar a área abaixo da curva a partir de x ≥ 1 , temos que resolver a seguinte integral:

∫ 1 ∞ 1 x + 1 2 d x

Esta é uma integral imprópria. Primeiramente, precisamos realizar uma modificação nela. Com isto, teremos:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x + 1 2 d x

Agora, nosso primeiro passo será resolver a integral e obter o nosso resultado em função de b . Depois, teremos de resolver o limite associado.

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x + 1 2 d x = lim b → ∞ ⁡ - 1 x + 1 1 b = lim b → ∞ ⁡ - 1 b + 1 + 1 2

Resolvendo o limite agora, temos:

lim b → ∞ ⁡ - 1 b + 1 + 1 2 = 1 2

Logo, a área abaixo da curva é:

A = 1 2   u . a .

Resposta

A = 1 2   u . a .

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