Enunciado

Se ∫ - ∞ ∞ f x d x é convergente e a e b são números reais, mostre que

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = ∫ - ∞ b f x d x + ∫ b ∞ f x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar a igualdade apresentada na questão assumindo que a integral converge e que a e b são números reais. Para isso, utilizaremos a definição de integrais impróprias.

Passo 2

Reescrevendo a integral, temos

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t a f x d x + lim u → ∞ ⁡ ∫ a u f x d x

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t a f x d x + lim u → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x + ∫ b u f x d x

Passo 3

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t a f x d x + ∫ a b f x d x + ∫ b ∞ f x d x

Então, temos que

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = ∫ - ∞ b f x d x + ∫ b ∞ f x d x

Resposta

Como queremos provar,

∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = ∫ - ∞ b f x d x + ∫ b ∞ f x d x

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫