Calcule as integrais que convirjam.

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 3 2 d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 3 2 d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x 2 + 3 ,   t a l   q u e   d u = 2 x d x

Teremos:

Quando x = b → u = b 2 + 3

Quando x = 0 → u = 3

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 3 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 3 b 2 + 3 1 u 2 d u 2

E resolvendo a integral:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 3 2 d x = 1 2 lim b → + ∞ ⁡ - 1 u | b 2 + 3 3

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 3 2 d x = - 1 2 lim b → + ∞ ⁡ 1 b 2 + 3 - 1 3

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 3 2 d x = 1 6

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 3 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 2 + 3 3 1 u 2 d u 2

E resolvendo a integral:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 3 2 d x = 1 2 lim a → - ∞ ⁡ - 1 u | 3 a 2 + 3

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 3 2 d x = - 1 2 lim a → - ∞ ⁡ 1 3 - 1 a 2 + 3

Logo:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 3 2 d x = - 1 6

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x = - 1 6 + 1 6

Logo:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x = 0

Resposta

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x = 0

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