Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1))

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) + underset(b -> + oo)(lim) int_1^b (d x)/(sqrt(x) (x + 1))

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) usando o método da substituição simples com u = sqrt(x) , tal que x = u^2 e d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x , teremos que:

Quando x = 1 -> u = 1

Quando x = a -> u = sqrt(a)

Então:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = underset(a -> 0^+)(lim) int_(sqrt(a))^1 (2 d u)/(u^2 + 1)

Resolvendo essa integral pela fórmula 22 da lista de integrais na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. - ANTON:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 underset(a -> 0^+)(lim) [a r c t g (u)] | [[1],[sqrt(a)]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 underset(a -> 0^+)(lim) [a r c t g (1) - a r c t g (sqrt(a))]

Logo:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 [(pi)/(4) - 0]

:. underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = (pi)/(2)

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

Quando x = b -> u = sqrt(b)

Quando x = 1 -> u = 1

Então:

underset(b -> + oo)(lim) int_1^b (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 underset(b -> + oo)(lim) [a r c t g (u)] | [[sqrt(b)],[1]]

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

underset(b -> + oo)(lim) int_1^b (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 underset(b -> + oo)(lim) [a r c t g (sqrt(b)) - a r c t g (1)]

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_1^b (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = 2 [(pi)/(2) - (pi)/(4)] = (pi)/(2)

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = (pi)/(2) + (pi)/(2)

Logo:

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = pi

Resposta

int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1)) = pi

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