Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 + ∞ d x x x + 1

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 + ∞ d x x x + 1

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 + ∞ d x x x + 1 = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x + 1

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) usando o método da substituição simples com u = x , tal que x = u 2 e d u = 1 2 x d x , teremos que:

Quando x = 1 → u = 1

Quando x = a → u = a

Então:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 2 d u u 2 + 1

Resolvendo essa integral pela fórmula 22 da lista de integrais na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. - ANTON:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 lim a → 0 + ⁡ a r c t g u | 1 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 lim a → 0 + ⁡ a r c t g 1 - a r c t g a

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 π 4 - 0

∴ lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = π 2

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

Quando x = b → u = b

Quando x = 1 → u = 1

Então:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x + 1 = 2 lim b → + ∞ ⁡ a r c t g u | b 1

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x + 1 = 2 lim b → + ∞ ⁡ a r c t g b - a r c t g 1

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x + 1 = 2 π 2 - π 4 = π 2

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ 0 + ∞ d x x x + 1 = π 2 + π 2

Logo:

∫ 0 + ∞ d x x x + 1 = π

Resposta

∫ 0 + ∞ d x x x + 1 = π

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