Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_2^a (1)/(x sqrt(ln x)) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = ln x , t a l q u e d u = (1)/(x) d x

E:

Quando x = a -> u = ln a

Quando x = 2 -> u = ln 2

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> + oo)(lim) int_2^a (1)/(x sqrt(ln x)) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_(ln 2)^(ln a) (1)/(sqrt(u)) d u

Portanto:

underset(a -> + oo)(lim) int_(ln 2)^(ln a) (1)/(sqrt(u)) d u = underset(a -> + oo)(l i m) (2 sqrt(u),[[ln a],[ln 2]])

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x = 2 underset(a -> + oo)(l i m) (sqrt(ln a) - sqrt(ln 2))

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x = + oo

Como nossa integral resultou em um valor infinito, ela diverge.

Resposta

int_2^(+ oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x = + oo

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