Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 π / 2 t g x d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 π / 2 t g x d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 π / 2 t g x d x = lim a → π / 2 - ⁡ ∫ 0 a t g x d x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo a integral, teremos:

lim a → π / 2 - ⁡ ∫ 0 a t g x d x = lim a → π / 2 - ⁡ ln ⁡ sec ⁡ x | a 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → π / 2 - ⁡ ln ⁡ sec ⁡ x | a 0 = lim a → π / 2 - ⁡ ln ⁡ sec ⁡ a - ln ⁡ sec ⁡ 0

Logo:

lim a → π / 2 - ⁡ ∫ 0 a t g x d x = + ∞ - 0 = + ∞

Como o limite resultou em um valor infinito, a integral é divergente.

Resposta

∫ 0 π / 2 t g x d x = + ∞

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