Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 e^(3 x) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = 3 x , t a l q u e d u = 3 d x

E:

Quando x = 0 -> u = 0

Quando x = a -> u = 3 a

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> - oo)(lim) int_(3 a)^0 e^(3 x) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_(3 a)^0 e^u ((d u)/(3))

Portanto:

underset(a -> - oo)(lim) int_(3 a)^0 e^u ((d u)/(3)) = (1)/(3) [underset(a -> - oo)(l i m) (e^u,[[0],[3,a]])]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x = (1)/(3) [underset(a -> - oo)(lim) (e^0 - e^(3 a))] = (1)/(3) [1 - 0]

Logo:

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x = (1)/(3)

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

int_(- oo)^0 e^(3 x) d x = (1)/(3)

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Suponha f não-limitada e contínua nos intervalos [ a , c [ e ] c , b ] . Defina ∫ a b f x d x .
Suponha f contínua em ] a , b [ e não-limitada em ] a , c ] e [ c , b [ . Defina ∫ a b f x d x .
Calculea)∫ 0 2 1 x - 1 3d x
Calculeb)∫ - 1 1 1 | x |d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 2 ∞ 1 x 4 + 2 x + 1 3d x