Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^4 (d x)/((x - 4)^2)

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^4 (d x)/((x - 4)^2)

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^4 (d x)/((x - 4)^2) = underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 4)^2)

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = x - 4 , t a l q u e d u = d x

Teremos:

Quando x = a -> u = a - 4

Quando x = 0 -> u = - 4

Logo:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 4)^2) = underset(a -> 4^-)(lim) int_(- 4)^(a - 4) (d u)/(u^2)

E resolvendo a integral:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 4)^2) = underset(a -> 4^-)(lim) [- (1)/(u)] | [[a,-,4],[-,4]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 4)^2) = - underset(a -> 4^-)(lim) [(1)/(a - 4) - (1)/((- 4))]

Logo:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 4)^2) = + oo

Como o limite resultou em um valor infinito, a integral é divergente.

Resposta

int_0^4 (d x)/((x - 4)^2) = + oo

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