Encontre uma função f e um número a tais que

2 + ∫ a x f ( t ) d t = e 3 x

Passo 1

Precisamos achar a e f , com talento.

Para achar f , podemos pensar em derivar os dois lados da equação. Essa integral a gente deriva pela teorema fundamental do cálculo.

A equação fica:

f x = 3 e 3 x

Olha só, conseguimos!

Passo 2

Para achar a , podemos substituir nossa f na equação:

2 + ∫ a x 3 e 3 t d t = e 3 x

Calculando a integral, usando uma substituição simples u = 3 t :

2 + e 3 t ​ a x = e 3 x

2 + e 3 x - e 3 a = e 3 x

2 = e 3 a ∴ ln ⁡ 2 = 3 a ∴ a = ln ⁡ 2 3

Resposta

f x = 3 e 3 x

a = ln ⁡ 2 3

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