Calcule a integral indefinida:

∫ d x x x 4 - 4

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é uma manipulação para transformar em algo que nós conhecemos ou que pareça mais simples do que o formato inicial. Vejam só:

∫ d x x x 4 - 4 = ∫ x d x x 2 x 4 - 4 = ∫ x d x x 2 ( x 2 ) 2 - 4

Viu o que eu fiz? Apareceu x 2 e no numerador x . Vamos efetuar a substituição x 2 = u , derivando nós ficamos com 2 x d x = d u     →       x d x = d u 2 . Vamos trocar a variável:

∫ x d x x 2 ( x 2 ) 2 - 4 = ∫ d u 2 u u 2 - 4 = 1 2 ∫ d u u u 2 - 4

Opa! Virou uma integral que é resolvida pelo método da substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos u 2 - 4 = u 2 - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sec ⁡ θ .

Passo 3

Façamos então a substituição:

u = 2 sec ⁡ θ d u = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, u 2 = 4 sec 2 ⁡ θ     →     u 2 - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 4 tan 2 ⁡ θ .

Passo 4

Agora vamos trocar a variável da integral e resolver utilizando.

1 2 ∫ d u u u 2 - 4 = 1 2 ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 2 sec ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ∫ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ = 1 4 ∫ d θ = θ 4 + C

Já podemos voltar na variável u . Olhando o quadrinho do começo para a substituição com sec e usando relações trigonométricas da tangente, temos:

tan ⁡ θ = u 2 - a 2 a = u 2 - 4 2         →           θ = tan - 1 ⁡ u 2 - 4 2

Sendo assim,

1 2 ∫ d u u u 2 - 4 = θ 4 + C = tan - 1 ⁡ u 2 - 4 2 4 + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x 2 = u , então:

∫ d x x x 4 - 4 = tan - 1 ⁡ u 2 - 4 2 4 + C = tan - 1 ⁡ x 4 - 4 2 4 + C

Resposta

∫ d x x x 4 - 4 = tan - 1 ⁡ x 4 - 4 2 4 + C

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