Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

14.

∫ 2 d x x 3 x 2 - 1   d x   ,         x > 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = sec ⁡ u d x = sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u

Vamos considerar também que

s e c 2 u - 1 = t g 2 u x 2 - 1 = t g 2 u

Então nossa integral fica

∫ 2 d x x 3 x 2 - 1   d x   = 2 ∫ 1 sec 3 ⁡ u ⋅ t g   u sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u = 2 ∫ 1 sec 2 ⁡ u   d u = 2 ∫ cos 2 ⁡ u d u

Passo 3

Para resolver essa integral vamos usar que

c o s 2 u = 1 + cos ⁡ 2 u 2

Então

2 ∫ cos 2 ⁡ u d u = 2 ∫ 1 2 d u + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u = ∫ d u + ∫ cos ⁡ 2 u   d u

Passo 4

Agora vamos resolver essas integrais

∫ d u = u + C

A segunda integral

∫ cos ⁡ 2 u   d u

Fazemos uma substituição

v = 2 u d v = 2 d u

Então

∫ cos ⁡ 2 u   d u = 1 2 ∫ cos ⁡ v   d v = 1 2 s e n   v + C = 1 2 s e n   2 u + C

Passo 5

Sabemos que x = sec ⁡ u

Também sabemos que   x 2 - 1 = t g 2 u , isso implica x 2 - 1 = s e n 2 u ⋅ s e c 2 u e assim chegamos que s e n   u = x 2 - 1 x 2

Então

1 2 s e n   2 u + C = 1 2 x 2 - 1 x 2

E

u = s e c - 1 u

Logo o resultado da nossa integral é

s e c - 1 u + x 2 - 1 2 x 2 + C

Resposta

s e c - 1 u + x 2 - 1 2 x 2 + C

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