Enunciado

Calcule a integral definida:

int_0^5 x^2 sqrt(25 - x^2) d x

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão 25 - x^2 = 5^2 - x^2 , isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 5 sen theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,5,sen theta],[d,x,=,5,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - x^2 = - 25 sen^2 theta -> 25 - x^2 = 25 - 25 sen^2 theta = 25 overset(cos^2 theta)(obrace (1 - sen^2 theta)) = 2^2 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável theta . Seja então:

[[x,=,0,->,0,=,5 sen theta,->,,,theta,=,0],[x,=,5,->,5,=,5,sen theta,->,theta,=,(pi)/(2)]]

Substituindo na integral:

int_0^5 x^2 sqrt(25 - x^2) d x = int_0^((pi)/(2)) (5 sen theta)^2 sqrt(5^2 cos^2 theta) * 5 cos theta d theta

= 5^2 * 5 * 5 int_0^((pi)/(2)) sen^2 theta * cos^2 theta d theta = 5^4 int_0^((pi)/(2)) sen^2 theta * cos^2 theta d theta

Aqui nós vamos utilizar a relação sen 2 theta = 2 sen theta cos theta -> (sen 2 theta)/(2) = sen theta cos theta . Dessa forma,

625 int_0^((pi)/(2)) sen^2 theta * cos^2 theta d theta = 625 int_0^((pi)/(2)) ((sen 2 theta)/(2))^2 d theta = (625)/(4) int_0^((pi)/(2)) sen^2 2 theta d theta

Agora utilizamos a relação sen^2 x = (1 - cos 2 x)/(2) x = 2 theta . Ficamos com:

(625)/(4) int_0^((pi)/(2)) sen^2 2 theta d theta = (625)/(4) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos 4 theta)/(2) d theta = (625)/(8) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos 4 theta) d theta

Prontinho!

Passo 4

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^5 x^2 sqrt(25 - x^2) d x = (625)/(8) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos 4 theta) d theta = ((625)/(8) (theta - (sen 4 theta)/(4))|_0^((pi)/(2))

= (625)/(8) ((pi)/(2) - (sen 4 * (pi)/(2))/(4) - (0 - (sen 4 * 0)/(4)))

= (625)/(8) ((pi)/(2) - (sen 2 pi)/(4) - (0))

= (625)/(8) ((pi)/(2)) = (625 pi)/(16)

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_0^5 x^2 sqrt(25 - x^2) d x = (625 pi)/(16)

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