Calcule a integral definida:

∫ 0 5 x 2 25 - x 2 d x

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão 25 - x 2 = 5 2 - x 2 , isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 5 sen ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 5 sen ⁡ θ d x = 5 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - x 2 = - 25 sen 2 ⁡ θ     →     25 - x 2 = 25 - 25 sen 2 ⁡ θ = 25 1 - sen 2 ⁡ θ ⏞ cos 2 ⁡ θ = 2 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 0 → 0 = 5 sen ⁡ θ →     θ = 0 x = 5 → 5 = 5 sen ⁡ θ → θ = π 2

Substituindo na integral:

∫ 0 5 x 2 25 - x 2 d x = ∫ 0 π 2 5 sen ⁡ θ 2 5 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ 5 cos ⁡ θ d θ

= 5 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ = 5 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ

Aqui nós vamos utilizar a relação sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ   →     sen ⁡ 2 θ 2 = sen ⁡ θ cos ⁡ θ . Dessa forma,

625 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ = 625 ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 θ 2 2 d θ = 625 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ d θ

Agora utilizamos a relação sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2       x = 2 θ . Ficamos com:

625 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ d θ = 625 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ 2 d θ = 625 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Prontinho!

Passo 4

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 5 x 2 25 - x 2 d x = 625 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = 625 8 θ - sen ⁡ 4 θ 4 0 π 2

= 625 8 π 2 - sen ⁡ 4 ⋅ π 2 4 - 0 - sen ⁡ 4 ⋅ 0 4

= 625 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - 0

= 625 8 π 2 = 625 π 16

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 0 5 x 2 25 - x 2 d x = 625 π 16

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