Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

8.

∫ 1 - 9 t 2 d t

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

t = 1 3 s e n   ѳ d t = 1 3 cos ⁡ ѳ   d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

∫ 1 - 9 t 2 = ∫ 1 - 9 1 3 s e n   ѳ 2 ⋅ 1 3 cos ⁡ ѳ   d ѳ

Isso fica

1 3 ∫ 1 - s e n 2 ѳ ⋅ cos ⁡ ѳ   d ѳ

Passo 3

Mas sabemos que

1 - s e n 2 ѳ = cos ⁡ ѳ

Então

1 3 ∫ 1 - s e n 2 ѳ ⋅ cos ⁡ ѳ   d ѳ = 1 3 ∫ cos ⁡ ѳ ⋅ cos ⁡ ѳ   d ѳ = 1 3 ∫ c o s 2 ѳ   d ѳ

Passo 4

Mas sabemos que

c o s 2 ѳ = 1 + cos ⁡ 2 ѳ 2

Então

1 3 ∫ c o s 2 ѳ   d ѳ = 1 3 ∫ 1 + cos ⁡ 2 ѳ 2 d ѳ = 1 3     ⋅ ∫ 1 2 d ѳ + ∫ cos ⁡ 2 ѳ 2   d ѳ  

Passo 5

Agora é só calcular a integral

1 3 ⋅ ∫ 1 2 d ѳ + ∫ cos ⁡ 2 ѳ 2   d ѳ   = 1 3 ⋅ 1 2 ѳ + 1 2 ⋅ s e n   ѳ ⋅ cos ⁡ ѳ   + C

Passo 6

Mas sabemos que

t = 1 3 s e n   ѳ

Então

ѳ = a r c s e n 3 t

Então nosso resultado fica

1 3 ⋅ 1 2 a r c s e n 3 t + 1 2 ⋅ s e n   a r c s e n 3 t ⋅ cos ⁡ a r c s e n 3 t   + C

Isso vai ficar

1 6 ⋅ a r c s e n 3 t + 3 t ⋅ 1 - 9 t 2     + C

Resposta

1 6 ⋅ a r c s e n 3 t + 3 t ⋅ 1 - 9 t 2     + C

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