Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

11.

∫ y 2 - 49 y   d y   ,         y > 7

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

y = 7 sec ⁡ u d y = 7 ⋅ sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u

Então nossa integral fica

∫ y 2 - 49 y   d y   = ∫ y 2 - 49 7 sec ⁡ u 7 ⋅ sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u = ∫ y 2 - 49 ⋅ t g   u   d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c 2 u - 1 = t g 2 u

Então

y 2 49 - 1 = t g 2 u

y 2 49 - 1 = t g   u

y 2 - 49 = 7 t g u

Teremos então

∫ y 2 - 49 ⋅ t g   u   d u = ∫ 7 ⋅ t g   u ⋅ t g   u   d u = 7 ∫ t g 2 u   d u

Passo 4

Para facilitar a integral, vamos reescrevê-la

7 ∫ t g 2 u   d u = 7 ∫ s e c 2 u - 1 d u

Passo 5

Vamos calcular primeiro ∫ s e c 2 u   d u

Vamos reescrever como

∫ 1 c o s 2 u d u

Vamos fazer a substituição onde

v = t g   u d v = 1 c o s 2 u

Então

∫ s e c 2 u   d u = ∫ d v = v = t g   u

Passo 6

A segunda integral é mais simples

∫ d u = u

Então teremos

7 ∫ s e c 2 u - 1 d u = 7 t g   u - u + C

Passo 7

Como y = 7 sec ⁡ u então u = a r c s e n y 7

E também y 2 - 49 = 7 t g u

Então nosso resultado fica

7 t g   u - u + C = y 2 - 49 - 7 a r c s e n y 7 + C

Resposta

y 2 - 49 - 7 a r c s e n y 7 + C

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