Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

24. int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x

Passo 1

De ínicio, pessoal, o que deve ser feito com muuuita urgência é simplificar essa coisa feiona aí, ok? Se simplificarmos devagarinho, teremos:

int_1^8 (2 x^((1)/(3)) - x - x^((2)/(3)) + 2)/(x^((1)/(3))) d x = int_1^8 ( 2 - x^((2)/(3)) + 2 x^(- (1)/(3)) - x^((1)/(3)) ) d x

Agora que simplificamos esse integrando, como sabemos que a integral de uma soma é igual a soma das integraias, então teremos:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x

A propriedade que devemos utilizar para resolver essas integrais é a seguinte:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Utilizando a regra comentada no passo anterior, teremos:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = 2 [x] (8)/(1) - (3)/(5) [x^((5)/(3))] (8)/(1) + 2 . (3)/(2) [x^((2)/(3))] (8)/(1) - (3)/(4) [x^((4)/(3))] (8)/(1)

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = (16 - 2) - ((3)/(5) (8^((5)/(3))) - (3)/(5)) + (3 (8^((2)/(3))) - 3)

- ((3)/(4) (8^((4)/(3))) - (3)/(4))

Fazendo as devidas simplificações e reduções, teremos o seguinte:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = 14 - (93)/(5) + 9 - 12 + (3)/(4)

:. int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x = - (137)/(20)

Resposta

int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x = - (137)/(20)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a derivada da função dada c )h x = ∫ 0 x s e nx ² t ² d t ² ²
Calcule a derivada da função dada d )h x = ∫ x 2 s e nx 1 1 + x 4 t 4 d t
Calcule as integrais usando o Teorema Fundamental do Cálculo e (se for necessário) propriedades da integral definida. ∫ 1 3 1 x 2 d x
37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.37. Não existe uma função diferenciável F x alguma tal que F ' x = x .
37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.38. Se f x for contínua no intervalo a ,b e se a integral definida de f x nesse intervalo for nula,