Enunciado

Suponha que int_1^x f ( t ) d t = x^2 - 2 x + 1 . Determine f ( x ) .

Passo 1

Uma equação envolvendo integral parece bastante complexo, não é? Bom, ela pode até parecer, mas no final, a sua resolução é bastante simples! Nós só precisamos relembrar um conceito, o qual é o teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F (x) = int_a^x f (t) d t , então:

F^' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Consequentemente, a função f ( x ) é a derivada da função F ( x ) !

Passo 2

Vamos analisar inicialmente se a nossa função se enquadra no teorema fundamental do cálculo. Se fizermos a = 1 , F (x) = x^2 - 2 x + 1 , temos:

int_1^x f ( t ) d t = x^2 - 2 x + 1

int_a^x f ( t ) d t = F ( x )

Logo, percebemos que a nossa função se enquadra do teorema. Portanto, basta derivarmos F ( x ) para obtermos f ( x ) .

Passo 3

Conforme vimos no passo anterior, temos:

f (x) = F ' ( x )

f (x) = [x^2 - 2 x + 1] '

f (x) = 2 x - 2

Resposta

f (x) = 2 x - 2

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