Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

24. ∫ 1 8 ( x 1 3 + 1 ) ( 2 - x 2 3 ) x 1 3 d x

Passo 1

De ínicio, pessoal, o que deve ser feito com muuuita urgência é simplificar essa coisa feiona aí, ok? Se simplificarmos devagarinho, teremos:

∫ 1 8 2 x 1 3 - x - x 2 3 + 2 x 1 3 d x = ∫ 1 8 ( 2 - x 2 3 + 2 x - 1 3 - x 1 3 ) d x

Agora que simplificamos esse integrando, como sabemos que a integral de uma soma é igual a soma das integraias, então teremos:

2 ∫ 1 8 d x - ∫ 1 8 x 2 3 d x + 2 ∫ 1 8 x - 1 3 d x - ∫ 1 8 x 1 3 d x

A propriedade que devemos utilizar para resolver essas integrais é a seguinte:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1

Passo 2

Utilizando a regra comentada no passo anterior, teremos:

2 ∫ 1 8 d x - ∫ 1 8 x 2 3 d x + 2 ∫ 1 8 x - 1 3 d x - ∫ 1 8 x 1 3 d x = 2 x 8 1 - 3 5 x 5 3 8 1 + 2 . 3 2 x 2 3 8 1 - 3 4 x 4 3 8 1

2 ∫ 1 8 d x - ∫ 1 8 x 2 3 d x + 2 ∫ 1 8 x - 1 3 d x - ∫ 1 8 x 1 3 d x = 16 - 2 - 3 5 8 5 3 - 3 5 + 3 8 2 3 - 3

- 3 4 8 4 3 - 3 4

Fazendo as devidas simplificações e reduções, teremos o seguinte:

2 ∫ 1 8 d x - ∫ 1 8 x 2 3 d x + 2 ∫ 1 8 x - 1 3 d x - ∫ 1 8 x 1 3 d x = 14 - 93 5 + 9 - 12 + 3 4

∴ ∫ 1 8 ( x 1 3 + 1 ) ( 2 - x 2 3 ) x 1 3 d x = - 137 20

Resposta

∫ 1 8 ( x 1 3 + 1 ) ( 2 - x 2 3 ) x 1 3 d x = - 137 20

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