Enunciado

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 7 7 x - 1 d x ,     u = 7 x - 1

Passo 1

Fala, galera. Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma integral indefinida e pediu pra gente resolver ela usando a substituição u = 7 x - 1 .

Pra usar essa substituição nós só precisamos calcular o d u e substituir tudo na integral. Assim, nós vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Para calcular o d u basta derivar a expressão dada e colocar um d x no final. Vamos lá!

O enunciado já nos deu u = 7 x - 1 , derivando a expressão:

d u = 7 x - 1 ' d x

d u = 7 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 7 7 x - 1 d x

O termo dentro da raiz é o próprio u e o resto é o nosso d u ! Então

∫ u d u = ∫ u 1 2 d u

Agora temos a integral de um polinômio que vale

∫ u 1 2 d u = 2 3 u 3 2 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração C , hein!

Nós podemos escrever a potência do u também dentro da raiz, lembrando que:

u 2 3 = u 3 = u ∙ u 2

Colocando u 2 para fora da raiz:

u 2 3 = u u

Escrevendo isso no resultado da nossa integral:

∫ u 1 2 d u = 2 3 u u + C

Agora só precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 7 7 x - 1 d x = 2 ( 7 x - 1 ) ( 7 x - 1 ) 3 + C

Prontinho, encerramos o exercício! 😉

Resposta

2 ( 7 x - 1 ) ( 7 x - 1 ) 3 + C

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