Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 3 y 7 - 3 y 2 d y

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de y com   7 - 3 y 2 , então vamos fazer

u = 7 - 3 y 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d y no final:

u = 7 - 3 y 2 → d u = 7 - 3 y 2 ' d y = - 6 y d y

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 3 y 7 - 3 y 2 d y

O termo dentro da raiz é o próprio u !

∫ 3 y u d y

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 6 y d y → - d u 2 = - 1 2 - 6 y d y → - d u 2 = 3 y d y

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 3 y u d y = ∫ u - d u 2 = - 1 2 ∫ u d u = - 1 2 ∫ u 1 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- 1 2 ∫ u 1 2 d u = - 1 2 2 3 u 3 2 + C = - u u 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 3 y 7 - 3 y 2 d y = - 7 - 3 y 2 7 - 3 y 2 3 + C

Resposta

- 7 - 3 y 2 7 - 3 y 2 3 + C

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