Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.2 - Ex. 50

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Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

50

∫ 8 c o t g 4 t   d t

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que   c o t g x = 1 t g x = c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Passo 2

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

  c o t g 2 t   = c s c 2 t - 1

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

∫ 8 c o t g 4 t   d t = 8 ∫ ( c s c 2 t - 1 )   c o t g 2 t   d t

Distribuindo c o t g 2 t

8 ∫   ( c s c 2 t ⋅ c o t g 2 t - c o t g 2 t ) d t

Agora a gente pode escrever como a soma de duas integrais

8 ∫   c s c 2 t ⋅ c o t g 2 t d t - 8 ∫ ( c o t g 2 t ) d t

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

8 ∫   c s c 2 t ⋅ c o t g 2 t d t

Vamos fazer a segunda substituição

c o t g u = v - c s c 2 u d u = d v

Aí ficamos com

- 8 ∫   v 2 d v

Agora essa integral é mais simples de resolver

- 8 ∫   v 2 d v = - 8 v 3 3 = - 8 c o t g 3 t 3 + C 1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

8 ∫ ( c o t g 2 t ) d t

A gente pode escrever essa integral da seguinte forma

8 ∫ ( c o t g 2 t ) d t = 8 ∫   ( c s c 2 t - 1 )

E a gente novamente separa em duas integrais

8 ∫ ( c s c 2 t ) d t - 8 ∫ d t  

Passo 5

Agora vamos resolver a integral

8 ∫ c s c 2 t   d t

Nos vimos no passo 3 que quando derivamos c o t g ( t ) obtemos c s c 2 ( t )   Então vale dizer que

8 ∫ c s c 2 ( t )   d t =   - 8 c o t g ( t ) + C 2

Passo 6

Só falta a última integral agora, e ela é bem simples

8 ∫ d t = 8 t + C 3

Passo 7

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

- 8 c o t g 3 t 3 + - 8 c o t g ( t ) + 8 t + C 4

Resposta

- 8 c o t g 3 t 3 + - 8 c o t g ( t ) + 8 t + C 4

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