Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

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∫ c o t g 6 2 x   d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que   c o t g x = 1 t g x = c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

∫ c o t g 6 2 x   d x = ∫ c o t g 4 2 x   c o t g 2 2 x   d x

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

  c o t g 2 2 x   = c s c 2 2 x - 1

Então fica

∫ c o t g 4 2 x   ( c s c 2 2 x - 1 ) d x

Distribuindo c o t g 4 2 x

∫   ( c s c 2 2 x * c o t g 4 2 x - c o t g 4 2 x ) d x

E de novo

∫   ( c s c 2 2 x * c o t g 4 2 x - ( c o t g 2 2 x c s c 2 2 x - 1 ) d x

∫   ( c s c 2 2 x * c o t g 4 2 x - c o t g 2 2 x * c s c 2 2 x + c o t g 2 2 x ) d x

Vamos fazer uma última vez

∫   ( c s c 2 2 x * c o t g 4 2 x - c o t g 2 2 x * c s c 2 2 x + c s c 2 2 x - 1 ) d x

Agora a gente pode escrever como a soma da várias integrais

∫   c s c 2 2 x ⋅ c o t g 4 2 x d x - ∫ ( c o t g 2 2 x ⋅ c s c 2 2 x ) d x + ∫   c s c 2 2 x   d x - ∫ d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

∫   c s c 2 2 x ⋅ c o t g 4 2 x d x

Vamos fazer a seguinte substituição de variável

2 x = u 2 d x = d u

Então

1 2 ∫   c s c 2 ( u ) ⋅ c o t g 4 u d u

A segunda substituição que faremos é

c o t g u = v - c s c 2 u d u = d v

Ai ficamos com

- 1 2 ∫   v 4 d v

Agora essa integral é mais simples de resolver

- 1 2 ∫   v 4 d v = - v 5 10 = - c o t g 5 u 10 = - c o t g 5 2 x 10 + C 1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

∫ ( c o t g 2 2 x ⋅ c s c 2 2 x ) d x

Fazendo as mesmas substituições do passo anterior a gente chega em

- 1 2 ∫   v 2 d v = - v 3 6 = - c o t g 3 u 6 = - c o t g 3 ( 2 x ) 6 + C 2

Passo 5

Agora vamos analisar a terceira integral

∫ c s c 2 2 x   d x

Vamos de novo fazer a substituição

2 x = u 2 d x = d u

Ai ficamos com

1 2 ∫ c s c 2 ( u )   d u

Agora essa integral aqui é por tabela

1 2 ∫ c s c 2 ( u )   d u =   - 1 2 c o t g ( u )

Então o valor é

- 1 2 c o t g ( 2 x ) + C 3

Passo 6

Só falta a última integral agora, e ela é bem simples

∫ d x = x + C 4

Passo 7

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

- c o t g 5 2 x 10 + c o t g 3 2 x 6 - 1 2 c o t g 2 x - x + C 5

Resposta

- c o t g 5 2 x 10 + c o t g 3 2 x 6 - 1 2 c o t g 2 x - x + C 5

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