Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

d   ∫ ∫ D y - 2 e x / y d x d y           ;           D   é   o   q u a d r a d o   0 ,   1 × 1 ,   2

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso temos ambas as variáveis x e y limitadas por duas constantes, podemos realizar as integrais diretamente pois a região é contínua nas duas variáveis. Por conveniência, vamos manter a ordem de integração.

Passo 2

Então, sabemos que os intervalos serão dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E:

1 ≤ y ≤ 2

Dessa forma, podemos escrever:

∫ 1 2 ∫ 0 1 y - 2 e x / y d x d y = ∫ 1 2 y - 2 ∫ 0 1 e x / y d x d y

Então, resolvendo a integral interna pelo método da substituição simples usando u = x / y , tal que d u = d x / y , teremos:

Quando x = 0 → u = 0

Quando x = 1 → u = 1 / y

Logo:

∫ 0 1 e x / y d x = ∫ 0 1 / y e u y d u

Que resulta em:

⇒ y e u | 1 y 0

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ y e 1 / y - e 0 = y e 1 y - 1

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

∫ 1 2 y - 2 ∫ 0 1 e x / y d x d y = ∫ 1 2 y - 2 y e 1 y - 1 d y

Ou ainda:

⇒ ∫ 1 2 y - 3 / 2 e y - 1 / 2 d y - ∫ 1 2 y - 3 / 2 d y

A segunda integral pode ser resolvida diretamente, mas a primeira precisa de algum método de resolução. Então, usando a substituição simples com v = y - 1 / 2 , tal que d v = - y - 3 / 2 / 2 d y , temos:

Quando y = 1 → v = 1

Quando y = 2 → v = 1 2 = 2 2

Então:

∫ 1 2 y - 3 / 2 e y - 1 / 2 d y = ∫ 1 2 / 2 e v - 2 d v

⇒ - 2 ∫ 1 2 2 e v d v = - 2 e v | 2 2 1

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ - 2 e 2 / 2 - e = 2 e - e 2 / 2

Passo 4

Portanto, resolvendo a outra integral, teremos:

∫ 1 2 y - 3 / 2 d y = - 2 y - 1 2 | 2 1

Substituindo o intervalo de integração:

⇒ - 2 1 2 - 1 1 = 2 1 - 2 2

Logo, o resultado final da integral será dado por:

∫ 1 2 ∫ 0 1 y - 2 e x / y d x d y = 2 e - e 2 / 2 - 2 1 - 2 2

Ou seja:

⇒ 2 e - e 2 2 + 2 2 - 1

Resposta

2 e - e 2 2 + 2 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados