Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

a   ∫ ∫ D y 2 s e n x 2 d x d y           ;           D   l i m i t a d a   p o r   y = x 1 / 3 ,   y = - x 1 / 3   e   x = 8

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Fubini (que pode ser encontrado no livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (página 1 61 )) que diz que se a função z = f x ,   y for contínua em um retângulo R = a ,   b × c ,   d , então:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c d f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x ,   y d x d y

Para regiões não retangulares, a diferença é que apenas uma das integrais terá constantes no seu limite de integração, enquanto a outra integral terá funções no limite de integração. Isso é mostrado em:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c x d x f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a y b y f x ,   y d x d y

Como no nosso caso temos uma região do tipo 1 em que a região é contínua em x e possui y limitada por funções de x , temos que aplicar a inversão da ordem de integração do Teorema de Fubini.

Além disso precisamos definir o intervalo de integração de x .

Passo 2

Então, como queremos saber o intervalo de x vamos esboçar o gráfico dessa região. Temos que:

Podemos ver que os intervalos serão dados por:

- x 1 / 3 ≤ y ≤ x 1 / 3

E:

0 ≤ x ≤ 8

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

∫ 0 8 ∫ - x 1 / 3 x 1 / 3 y 2 s e n x 2 d y d x = ∫ 0 8 s e n x 2 ∫ - x 1 / 3 x 1 / 3 y 2 d y d x

Então, resolvendo a integral interna:

∫ 0 8 s e n x 2 ∫ - x 1 / 3 x 1 / 3 y 2 d y d x = ∫ 0 8 s e n x 2 y 3 3 | x 1 / 3 - x 1 / 3 d x

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ 1 3 ∫ 0 8 s e n x 2 x 1 3 3 - - x 1 3 3 d x

O que resulta em:

⇒ 1 3 ∫ 0 8 s e n x 2 x - - x d x = 2 3 ∫ 0 8 x s e n x 2 d x

Passo 4

Logo, podemos resolver essa integral pelo método da substituição simples usando u = x 2 e d u = 2 x d x , tal que:

Quando x = 0 → u = 0 ;

Quando x = 8 → u = 64

Dessa forma:

2 3 ∫ 0 8 x s e n x 2 d x = 2 3 ∫ 0 64 s e n u d u 2

Ou seja:

⇒ 1 3 ∫ 0 64 s e n u d u = 1 3 - cos ⁡ u | | 64 0

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ - 1 3 cos ⁡ 64 - cos ⁡ 0 = 1 3 - 1 3 cos ⁡ 64

Que pode ser reescrito como:

⇒ 1 3 1 - cos ⁡ 64

Resposta

1 3 1 - cos ⁡ 64

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