Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

h) f(x, y) = cos(2y) raiz(4 - sen^2x) e B o retângulo de vértices |0,0| , (0, pi / 2) , (pi / 2, 0) , (pi / 2, pi / 2)

Passo 1

Fala galera! Belezinha? Bora resolver mais uma questãozinha!

Dessa vez precisamos avaliar:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Onde teremos:

f x , y = cos ⁡ 2 y   4 - s e n 2 x

Com os pontos

0,0

0 , π 2

π 2 , 0

π 2 , π 2

Nossa integral será:

∬ cos ⁡ 2 y   4 - s e n 2 x d x   d y

Além disso, pelos pontos dados, temos que:

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ π 2

Agora, precisamos montar nossa integral e resolver o problema. Bora nessa!

Passo 2

Montando nossa integral com os devidos limites de integração, temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   4 - s e n 2 x   d x   d y

Podemos retirar o termo cos ⁡ 2 y já que ele não depende de x , então ele seria uma constante.

Com isso, temso:

∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   d y   ∫ 0 π 2 4 - s e n 2 x   d x

Resolvendo a integral mais externa, temos o seguinte:

∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   d y

Fazendo uma substituição marota, temos:

u = 2 y

d u = 2   d y

Os novos limites ficam:

y = 0 ;     u = 0

y = π 2 ;     u = π

Nossa integral fica:

∫ 0 π cos ⁡ u 2   d u = s e n   u 2 0 π

Avaliando nos limites de integração, temos:

s e n   π - s e n   0 = 0

Ou seja, temos uma integral com valor:

∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   d y = 0

Se observarmos bem, nem precisamos continuar com o problema. Qualquer que seja o resultado da segunda integral, ele será multiplicado por zero!

Sendo assim, temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   4 - s e n 2 x   d x   d y = 0

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 y   4 - s e n 2 x   d x   d y = 0

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