Enunciado

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que não vamos precisar utilizar nenhuma substituição.

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é menor que o do numerador, que tem grau zero, primeiro, vamos realizar uma divisão de polinômios,

Ou seja,

x 3 + 4 x ÷     x 2 + 4 x + 3 =     x   x 2 + 4 x + 3 +     3 x

Substituindo,

∫ x 3 + 4 x x 2 + 4 x + 3 d x =   ∫ x   x 2 + 4 x + 3 +     3 x x 2 + 4 x + 3 d x = ∫ (   x +       3 x x 2 + 4 x + 3 )     d x = ∫   x   d x   + ∫     3 x x 2 + 4 x + 3     d x  

Passo 2

Resolvendo as integrais

  • ∫   x   d x   =   x 2  
  • ∫     3 x x 2 + 4 x + 3     d x  

Para resolver esta integral, precisaremos usar frações parciais, já que temos uma divisão de polinômios, na qual o numerador tem grau menor que o denominador. Então, primeiro, vamos decompor o denominador da fração.

x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1   ) ( x + 3 )

Então,

    3 x x 2 + 4 x + 3   =     3 x x + 1   x + 3 = A x + 1   + B x + 3

Calculando o mmc, ficamos com

    3 x x + 1   x + 3 =     A   x + 3   + B ( x + 1   )   x + 1   x + 3    

Como os denominadores são iguais,

A   x + 3   + B ( x + 1   )   = 3 x  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

x A + B + 3 A + B =   3 x

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A + B = 3   3 A + B = 0

Resolvendo o sistema, temos que

A = - 3 2   e B = 9 2

Sendo assim,

∫     3 x x 2 + 4 x + 3     d x     = 3 2 ∫   1 x + 1     d x + 9 2 ∫   1 x + 3   d x = 3 2 ln ⁡ x + 1 + 9 2 ln ⁡ x + 3

Passo 3

Substituindo na primeira integral,

∫ x 3 + 4 x x 2 + 4 x + 3 d x = ∫   x   d x +   3 2 ∫   1 x + 1     d x + 9 2 ∫   1 x + 3 = x 2 2 +   3 2 ln ⁡ x + 1 + 9 2 ln ⁡ x + 3

Resposta

∫ x 3 + 4 x x 2 + 4 x + 3 d x = x 2 2 +   3 2 ln ⁡ x + 1 + 9 2 ln ⁡ x + 3  

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