Calcule a integral.

∫ r 2 r + 4 d r

Passo 1

Opa! Vamos responder esse probleminha!! O enunciado pede pra a gente calcular a seguinte integral:

∫ r 2 r + 4 d r

Pra isso vamos usar frações parciais na função:

r 2 r + 4

Aqui o numerador tem um grau maior que o denominador, então a gente precisa fazer uma divisão de polinômios. Vamos chamar o numerador de:

r 2 + r 0 + 0

Após isso, basta nos lembrarmos da seguinte relação:

D i v i d e n d o = D i v i s o r × Q u o c i e n t e + R e s t o

Fazendo as continhas:

Podemos escrever da seguinte forma:

r 2 + r 0 + 0 = ( r + 4 ) r - 4 + 16

Então:

r 2 r + 4 = r - 4 + 16 r + 4

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ r 2 r + 4 d r = ∫ r - 4 d r + ∫ 16 r + 4 d r

∫ r 2 r + 4 d r = ∫ r d r - ∫ 4 d r + ∫ 16 r + 4 d r

Agora a única integral menos simples de resolver é:

∫ 16 r + 4 d r

Podemos fazer uma substituição, onde:

u = r + 4

d u d r = 1 → d u = d r

∫ 16 u d u

Integrando:

∫ 16 u d u = 16 ln ⁡ u + C

Voltando a variável original:

16 ln ⁡ u + C = 16 ln ⁡ | r + u | + C

Agora vamos resolver as outras integrais:

∫ r 2 r + 4 d r = ∫ r d r - ∫ 4 d r + 16 ln ⁡ | r + u | + C

∫ r 2 r + 4 d r = r 2 2 - 4 r + 16 ln ⁡ ( r + 4 ) + C

Prontinho!

Resposta

∫ r 2 r + 4 d r = r 2 2 - 4 r + 16 ln ⁡ ( r + 4 ) + C

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