Calcular a integral indefinida.

∫ d x 4 + 5 cos ⁡ x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

∫ 2 d t 1 + t 2 4 + 5 1 - t 2 1 + t 2

= ∫ 2 d t 1 + t 2 4 + 4 t 2 + 5 - 5 t 2 1 + t 2

= ∫ 2 d t 9 - t 2

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= 2 ∙ 1 2 ∙ 3 ln ⁡ t + 3 t - 3 + C

= 1 3 ln ⁡ t + 3 t - 3 + C

Isso! Agora a gente volta pra variável x :

= 1 3 ln ⁡ t g x 2 + 3 t g x 2 - 3 + C

Prontinho😉

Resposta

1 3 ln ⁡ t g x 2 + 3 t g x 2 - 3 + C

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