Enunciado

83. Suponha que f seja a função derivável mostrada no gráfico a seguir e que a posição no instante t (segundos) de uma partícula que se desloca ao longo de um eixo coordenado seja

s = ∫ 0 t f ( x ) d x

Metros. Use o gráfico para responder às seguintes perguntas. Justifique suas respostas.

a. Qual é a velocidade da partícula no instante t = 5 ?

b. A aceleração da partícula no instante t = 5 é positiva ou negativa?

c. Qual é a posição da partícula no instante t = 3 ?

d. Em que instante, durante os primeiros 9 segundos, s apresenta seu valor mais alto?

e. Quando, aproximadamente, a aceleração é zero?

f. Quando a partícula se desloca para a origem? E se afasta da origem?

g. De que lado da origem a partícula se situa no instante t = 9 ?

Passo 1

a) Então galera, como a questão nos fornece a função da posição, podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo para determinar a velocidade! Sabemos que a derivada da posição nos fornece a velocidade, certo? Ademais, segundo o T.F.C, temos:

d s d t = d d t ∫ 0 t f ( x ) d x

v = f ( x )

Agora que encontramos uma expressão para a velocidade, para t = 5 , de acordo com o gráfico, a f ( x ) vale 2 , portanto:

v 5 = 2   m / s

Passo 2

b) A derivada no instante t = 5 é uma reta decrescente, certo? Sendo assim, podemos concluir que a aceleração é negativa nesse ponto! Essa análise faz sentido porque o gráfico realmente está decrescendo, o que implica que a partícula está voltando para a origem.

Passo 3

c) Se olharmos o gráfico, conseguimos notar que até t = 4 a partícula se move em M.R.U, certo? Se o movimento é uniforme, temos o seguinte:

s = s 0 + v . t

Como a partícula sai do repouso, então s 0 = 0 , logo:

s = v . t

Em t = 3 , v = 3 , sendo assim:

s = 3.3 = 9   m

Passo 4

d) Olhando o gráfico, temos que s apresenta seu maior valor em t = 4 , não é mesmo? Nesse instante de tempo, v = 4 também, logo:

s = v . t

∴ s = 4.4 = 16   m

Passo 5

e) A aceleração da partícula é zero nos primeiros 4 segundos, galera! Como assim, por que a aceleração é nula durante esse tempo? Como o movimento é uniforme nos primeiros 4 segundos, então isso implica que a partícula não tem aceleração, o que difere dos outros intervalos de tempo, no qual há pequenas curvas no gráfico e, portanto, variações na velocidade.

Passo 6

f) De acordo com o gráfico, temos o seguinte, pessoal:

De 0 a 4 segundos a partícula está se: afastando da origem;

De 4 a 6 segundos a partícula está se: aproximando da origem;

De 6 a 7 segundos a partícula está se: afastando da origem;

De 7 a 9 segundos a partícula está se: aproximando da origem.

Passo 7

g) Se olharmos para o gráfico, podemos notar que centésimos antes dos 9 segundos a partícula está voltando para a origem, uma vez que ela estava contra a trajetória ( f x   n e g a t i v o ) . Sendo assim, podemos concluir que momentos antes da partícula chegar em 9 segundos de percurso ela estava no lado negativo da origem.

Resposta

a) v 5 = 2   m / s

b) Negativa.

c) s = 9   m

d) s = 16   m

e) De 0 a 4 segundos.

f) De 0 a 4 e de 6 a 7 está se afastando;

De 4 a 6 e de 7 a 9 está se aproximando.

g) Lado esquerdo (negativo) da origem.

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