Enunciado

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Calcule a integral ∫ 0 1 x 1 - x     d x   usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Como o enunciado pede iremos aplicar primeiramente o método da substituição e em seguida resolvemos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Apesar de ser uma integral definida, inicialmente, iremos integrar como se fosse indefinida para poder facilitar os cálculos.

Para poder resolver ∫ x 1 - x   d x utilizamos, inicialmente, o método da substituição:

w = 1 - x   logo x = 1 - w

dw = ( 1 - x )’dx

dw = - 1 .   dx

∫ x 1 - x   d x   =   ∫ 1   -   w   . w . ( - 1 )   d w

=   - ∫ 1   -   w   . w   d w

Passo 3

Agora resolvemos por partes a integral ∫ 1   -   w   . w   d w . Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = 1   -   w   (pois é o valor mais simples de derivar) dv = w . dw

du = ( 1 - w )’. dw v = ∫ w . d w

du = -1. dw v = w 1 2 + 1 1 2 + 1 =   w 3 2 3 2   = 2 . w 3 2 3

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ 1   -   w   . w   d w = 1   -   w   .   2 . w 3 2 3 -   ∫ 2 . w 3 2 3 . ( - 1 ) d w

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 -   2 3 . - 1 . ∫ w 3 2     d w

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   2 3 . ∫ w 3 2     d w

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   2 3 . w 3 2 + 1 3 2 + 1

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   2 3 . w 5 2 5 2

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   2 3 . 2 . w 5 2 5

=   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   4 . w 5 2 15

Colocamos o resultado encontrado no lugar de ∫ 1   -   w   . w   d w

= - 2 . w 3 2 . 1   -   w   3 +   4 . w 5 2 15

= -   2 . w 3 2 . 1   -   w   3 -   4 . w 5 2 15

Agora substituímos w = 1 - x  

= -   2 . ( 1 - x   ) 3 2 . 1   -   1 - x   3 -   4 . ( 1 - x   ) 5 2 15

= -   2 . ( 1 - x   ) 3 2 . - x   3 -   4 . ( 1 - x   ) 5 2 15

= 2 . x . ( 1 - x   ) 3 2 . 3 -   4 . ( 1 - x   ) 5 2 15

Tiramos da forma de potência e colocamos na forma de raiz

=   2 . x . ( 1 - x   ) 3 3 -   4 . ( 1 - x   ) 5 15

Por fim calculamos como integral definida de 0 a 1

∫ 0 1 x 1 - x     d x =   2 . x . ( 1 - x   ) 3 3 -   4 . ( 1 - x   ) 5 15 0 1

= 2.1 . ( 1 - 1   ) 3 3 -   4 . ( 1 - 1   ) 5 15 - 2.0 . ( 1 - 0   ) 3 3 -   4 . ( 1 - 0   ) 5 15

= 0 - - 4 15

= 4 15

Resposta

∫ 0 1 x 1 - x     d x   = 4 15

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