Enunciado

Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas x dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproximadamente) a área da região delimitada pelas curvas.

y = a r c s e n   1 2 x ,       y = 2 - x 2

Passo 1

Traçando o gráfico das curvas y = a r c s e n 1 2 x e y = 2 - x 2 , observamos que essas curvas se cruzam quando x ≈ 1,17 e x ≈ - 1,75 .

Passo 2

Logo temos que o intervalo de interceção é - 1,75 < x < 1 , 17 . Atribuindo a = - 1,75 e b = 1,17 ,   temos que a área entre essas curvas é dada por:

A = ∫ a b 2 - x 2 - a r c s e n 1 2 x   d x = ∫ a b 2   d x - ∫ a b x 2 d x - ∫ a b a r c s e n 1 2 x d x

Perceba que desmembramos nossa integral em três pela propriedade da soma e da diferença de integrais. As duas primeiras integrais são integrais que resolvemos pela integração de um polinômio, que é dada por:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Já a última nós teremos que aplicar aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f x ou a mais difícil de se integrar. Assim atribuindo os valores em referência a primeira integral temos:

f x = a r c s e n 1 2 x       e           g ' ( x ) = d x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = a r c s e n 1 2 x   ⇒ f ' x = 1 1 - 1 2 x 2 × 1 2

g ' x = d x ⇒ g x = ∫ d x = x + C

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada , temos:

∫ a b a r c s e n 1 2 x d x = x   a r c s e n 1 2 x   | b a - ∫ a b x 2 1 - 1 4 x 2   d x =

= x   a r c s e n 1 2 x   | b a - 2 1 - 1 4 x 2   | b a =

b   a r c s e n 1 2 b - a   a r c s e n 1 2 a - 2 1 - 1 4 b 2 + 2 1 - 1 4 a 2

Passo 3

Retomando a integral inicial, temos:

A = ∫ a b 2 - x 2 - a r c s e n 1 2 x   d x = ∫ a b 2   d x - ∫ a b x 2 d x - ∫ a b a r c s e n 1 2 x d x =

= 2 x   | b a - x 3 3   | b a -   b   a r c s e n 1 2 b - a   a r c s e n 1 2 a - 2 1 - 1 4 b 2 + 2 1 - 1 4 a 2 =

= 2 b - 2 a - b 3 3 + a 3 3 - b   a r c s e n 1 2 b + a   a r c s e n 1 2 a + 2 1 - 1 4 b 2 - 2 1 - 1 4 a 2

Aplicando os valores de a e b , obtemos um valor aproximado para a área de 3,99926 .

Resposta

A = 3,99926

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral. ∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3d x
Calcule a integral. ∫ cos ⁡ x ln ⁡ ( s e nx )d x
Calcule a integral. ∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2d x
Calcule a integral. ∫ 0 1 y e 2 yd y