Enunciado

Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas x dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproximadamente) a área da região delimitada pelas curvas.

y = x ln ⁡ ( x + 1 ) ,       y = 3 x - x 2

Passo 1

Traçando o gráfico das curvas y = x ln ⁡ ( x + 1 ) e y = 3 x - x 2 , observamos que essas curvas se cruzam quando x = 0 e x ≈ 1,93 .

Passo 2

Logo temos que o intervalo de interceção é 0 < x < 1 , 93 . Atribuindo a = 0 e b = 1,93 ,   temos que a área entre essas curvas é dada por:

A = ∫ a b 3 x - x 2 - x ln ⁡ x + 1   d x = ∫ a b 3 x   d x - ∫ a b x 2 d x - ∫ a b x   l n ⁡ ( x + 1 ) d x

Perceba que desmembramos nossa integral em três pela propriedade da soma e da diferença de integrais. As duas primeiras integrais são integrais que resolvemos pela integração de um polinômio, que é dada por:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Já a última nós teremos que aplicar aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f x ou a mais difícil de se integrar. Assim atribuindo os valores em referência a primeira integral temos:

f x = l n ⁡ ( x + 1 )       e           g ' ( x ) = x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = ln ⁡ ( x + 1 )   ⇒ f ' x = 1 x + 1

g ' x = x ⇒ g x = ∫ x   d x = x 2 2 + C

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada , temos:

∫ a b x ln ⁡ ( x + 1 ) d x = x 2 2 x ln ⁡ ( x + 1 )   | b a - ∫ a b x 2 2 ( x + 1 )   d x =

= x 3 2 ln ⁡ x + 1   | b a - 1 2 ∫ a b x 2 x + 1   d x

Por substituição temos u = x + 1 ⇒ x = u - 1 ,       d u = d x

⇒ ∫ x 2 x + 1 = ∫ u - 1 2 u d u = ∫ u 2 - 2 u + 1 u d u = ∫ u   d u - ∫ 2 d u + ∫ 1 u d u

Integrando e substituindo u por x + 1 e retomando nosso resultado temos:

⇒ x 3 2 ln ⁡ x + 1   | b a - 1 2 x + 1 2 2 - 2 x + 1 + ln ⁡ x + 1   | b a

Passo 3

Retomando a integral inicial, temos:

A = ∫ a b 3 x - x 2 - x ln ⁡ x + 1   d x = ∫ a b 3 x   d x - ∫ a b x 2 d x - ∫ a b x   l n ⁡ ( x + 1 ) d x

= 3 x 2 2   | b a - x 3 3   | b a - x 3 2 ln ⁡ x + 1   | b a - 1 2 x + 1 2 2 - 2 x + 1 + ln ⁡ x + 1   | b a =

Como a = 0 e todos os itens da equação possui x , podemos já somente substituir o valor de b . Assim:

A = 3 b 2 2 - b 3 3 - b 3 2 ln ⁡ b + 1 + 1 4 b + 1 2 - b + 1 + ln ⁡ b + 1 1 2 ≈ 1,69258

Resposta

A ≈ 1 , 69258

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 4 9 ln ⁡ y y d y
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ cos ⁡ xd x
Calcule a integral. ∫ 0 1 x 2 + 1e - xd x
Calcule a integral. ∫ 0 1 t cosh ⁡ td t
Calcule a integral: ∫ t cos sec 2 ⁡ t d t