Calcule a integral.

∫ x tan 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

∫ x tan 2 ⁡ x   d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Mas antes disso vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Então temos:

∫ x sec 2 ⁡ x - 1   d x

∫ x sec 2 ⁡ x   d x   - ∫ x   d x

Vamos focar na primeira integral! Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x

d v = sec 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Precisamos calcular d u e v pra montar a integral. Então:

d u d x = 1

∫ d v = ∫ sec 2 ⁡ x   d x

A derivada de tan ⁡ x é sec 2 ⁡ x , então:

v = tan ⁡ x

Montando a integral:

x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x   d x

Passo 3

Agora a gente integra:

∫ tan ⁡ x   d x

Lembrando que:

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Então:

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x   d x

Por substituição simples:

u = cos ⁡ x

d u d x = - sin ⁡ x

Então:

- ∫ 1 u   d u = - ln ⁡ u + C = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Ficamos com:

∫ x sec 2 ⁡ x   d x   = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

Passo 4

Lembrando que a nossa integral era:

∫ x sec 2 ⁡ x   d x   - ∫ x   d x

Temos que:

∫ x   d x = x 2 2 + C

Juntando tudo:

∫ x tan 2 ⁡ x   d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + C

Prontinho!

Resposta

∫ x tan 2 ⁡ x   d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + C

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