Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 7.1 - Ex. 20

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Calcule a integral.

∫ x   t g 2 ( x )   d x

Passo 1

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( x ) . Assim:

f x = x         e           g ' ( x ) = t g 2 ( x )

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = x ⇒ f ' x = 1

Observe que para calcular g ' ( x ) podemos usar uma identidade trigonométrica a fim de substituir t g 2 x por outra função conhecida para integrar. Sabemos da trigonometria que:

x - t g 2 x = 1 ⇒ t g 2 x = x - 1    

Assim, podemos reescrever g ' ( x ) como g ' x = t g 2 x = ( x ) - 1   .Agora sim podemos integrar g ' ( x ) . Temos então que:

g ' x = x - 1   ⇒ g x = ∫ x - 1 ]   d x =     ∫ x   d x - ∫ 1 d x = t g x - x  

Passo 2

Aplicando na fórmula citada no passo anterior, temos:

∫ x   t g 2 x d x =   x t g x - x - ∫ 1 t g x - x   d x

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por substituição agora. Primeiro podemos reescrever a integral obtida na substituição na forma de duas integrais pela regra da soma e da diferença:

∫ ( t g x - x )   d x = ∫ t g   x d x - ∫ x   d x

Podemos ainda abrir a função tangente em termos de seno e cosseno, temos assim que:

∫ t g x d x = ∫ s e n   x   c o s   x     d x

Aplicando a substituição nesta integral temos:

u = c o s   x   d x ⇒ d u =   - s e n   x   d x  

∫ s e n   x   c o s   x       d x =   - ∫ 1 u   d u = - l n u =   - l n | c o s   x |      

Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x )   conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Logo, temos que:

∫ ( t g x - x )   d x = ∫ t g   x d x - ∫ x   d x =   - l n | c o s   x | - x 2 2     + C

Lembre-se também que a integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

∫ x   t g 2 x d x =   x t g x - x - ∫ 1 t g x - x   d x =

= x t g x - x - - l n | c o s   x | - x 2 2     + C = x   t g x - x 2 + l n ⁡ | c o s   x | + x 2 2 + C =  

= x   t g x + l n ⁡ | c o s   x | - x 2 2 + C  

Resposta

x   t g x + l n ⁡ | c o s   x | - x 2 2 + C  

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