Calcule a integral.

∫ x a r c t g x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x a r c t g x d x

E supondo:

u = a r c t g x   e   d v = x d x

Conseguimos encontrar:

d u = 1 1 + x 2 d x

E:

v = ∫ x d x

Ou seja:

v = x 2 2

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ a r c t g x d x = a r c t g x x 2 2 - ∫ x 2 2 1 1 + x 2 d x

Que pode ser reescrita como:

∫ a r c t g x d x = x 2 2 a r c t g x - 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x

Passo 4

Como a integral do lado direito da equação não possui um resultado já definido, precisamos deixa-lo em uma forma integrável. Então, com um jogo de cintura, podemos reescrever essa integral como:

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 - 1 1 + x 2 d x

Então, a integral agora terá a nova forma:

∫ a r c t g x d x = x 2 2 a r c t g x - 1 2 ∫ 1 - 1 1 + x 2 d x

Ou ainda:

∫ a r c t g x d x = x 2 2 a r c t g x - 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ 1 1 + x 2 d x

Passo 5

Portanto, a integral terá como resultado:

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 3 1 18 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

Portanto, o resultado final é:

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 1 6 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

Resposta

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 1 6 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

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