Calcule a integral.

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x

E supondo:

u = ln ⁡ x 2 + 4   e   d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = 2 x x 2 + 4 d x

E:

v = ∫ d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x = ln ⁡ x 2 + 4 x - ∫ x 2 x x 2 + 4 d x

Que pode ser reescrita como:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x = x ln ⁡ x 2 + 4 - ∫ 2 x 2 x 2 + 4 d x

Passo 4

Como a integral do lado direito da equação não possui um resultado já definido, precisamos deixa-lo em uma forma integrável. Então, com um jogo de cintura, podemos reescrever essa integral como:

∫ 2 x 2 x 2 + 4 d x = ∫ 2 - 8 x 2 + 4 d x

Então, a integral agora terá a nova forma:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x = x ln ⁡ x 2 + 4 - ∫ 2 - 8 x 2 + 4 d x

Ou ainda:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x = x ln ⁡ x 2 + 4 - ∫ 2 d x + ∫ 8 x 2 + 4 d x

E, portanto, teremos:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 d x = x ln ⁡ x 2 + 4 - 2 x + 8 ∫ 1 x 2 + 4 d x

Passo 5

A última integral restante pode ser resolvida através da fórmula 22 presente na Lista de Integrais na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON. Logo:

∫ 1 3 x - 2 d x = ∫ 1 u d u 3

∫ 1 3 x - 2 d x = 1 3 ln ⁡ u

Substituindo a variável de origem:

∫ 1 3 x - 2 d x = 1 3 ln ⁡ 3 x - 2

Portanto, o resultado da integral é:

∫ ln ⁡ 3 x - 2 d x = x ln ⁡ 3 x - 2 - x - 2 1 3 ln ⁡ 3 x - 2 + C

∫ ln ⁡ 3 x - 2 d x = x ln ⁡ 3 x - 2 - x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 + C

Resposta

∫ ln ⁡ 3 x - 2 d x = x ln ⁡ 3 x - 2 - x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados