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Calcule a integral

∫ e θ ⋅   3 + 4 e θ   d θ

Passo 1

Primeiramente, façamos uma substituição simples de tal forma que possamos reescrever nossa integral de uma maneira mais agradável de se resolver. Sendo assim, tomemos o seguinte

u = 3 + 4 e θ → d u d θ = 4 e θ → d u 4 = e θ d θ

Dessa forma, nossa integral pode ser reescrita como sendo

1 4 ⋅ ∫ u   d u = 1 4 ⋅ ∫ u 1 2   d u

Passo 2

Da forma como está escrita nós temos uma função do tipo potência e para integrar esse tipo de função basta seguirmos a seguinte regra

∫ t n d t   = 1 n + 1 ⋅ t n + 1 + C

Então, podemos fazer

1 4 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = 1 4 ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 + C = 1 6 ⋅ u 3 2 + C

Retornando a variável θ obteremos

1 6 ⋅ 3 + 4 e θ 3 2 + C

Resposta

1 6 ⋅ 3 + 4 e θ 3 2 + C

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