Calcule a integral ∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x .

Passo 1

Bora resolver a integral:

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x

Para isso vamos utilizar integral por substituição, fazendo:

u = e x → x = ln ⁡ u

d x = d u u

Passo 2

Aplicando na integral:

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x = ∫ d u u 1 + 2 u - 1 u

= ∫ d u 2 u 2 + u - 1

Separando o quadrado irredutível do denominador em duas frações distintas:

= ∫ 2 3 2 u - 1 - 1 3 u + 1 d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

= ∫ 2 3 2 u - 1 - 1 3 u + 1 d u

= 1 3 l n 2 u - 1 - 1 3 l n u + 1 + C

Passo 4

Voltando a variável x :

1 3 l n 2 u - 1 - 1 3 l n u + 1 + C = 1 3 l n 2 e x - 1 - 1 3 l n e x + 1 + C

Resposta

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x = 1 3 l n 2 e x - 1 - 1 3 l n e x + 1 + C

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