Calcule a integral ∫ 0 1 x 2 - 1 - x 2 d x .

Passo 1

Façamos uma substituição simples do tipo u.du, seguindo:

u 2 = 1 - x 2

2 u   d u = - 2 x   d x

x = 0 → u = 1

x = 1 → u = 0

Voltando a integral:

∫ 1 0 2 - u - u d u

Agora é só resolver a integral! Vamos lá!

Passo 2

Será necessária uma nova substituição para resolvermos essa integral, logo:

v = 2 - u

v 2 = 2 - u

2 v   d v = - d u

u = 1 → v = 1

u = 0   → v = 2

Mais uma vez pegamos nossas novas variáveis e substituímos na integral!

∫ 1 2 v 2 - v 2 2 v   d v

∫ 1 2 4 v 2 - 2 v 4 d v

Resolvendo a integral...

4 3 v 3 - 2 5 v 5 2 1

8 3 2 - 8 5 2 - 4 3 - 2 5

16 15 2 - 14 15

Resposta

16 15 2 - 14 15

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