Enunciado

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Calcule a integral ∫ 0 π 3 x . t g 2 x   d x   usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Como o enunciado pede iremos aplicar primeiramente uma substituição e em seguida resolvemos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

E para essa questão vamos usar a identidade trigonométrica: s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Passo 2

Apesar de ser uma integral definida, inicialmente, iremos integrar como se fosse indefinida para poder facilitar os cálculos. Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x     dv = t g 2 x . dx

du = ( x )’. dx v = ∫   t g 2 x   d x

du = 1.dx v = ∫   s e n 2 x c o s 2 x   d x

v = ∫   1 - c o s 2 x c o s 2 x   d x (usando a id. Trigonométrica)

v = ∫   1 c o s 2 x   d x - ∫   c o s 2 x c o s 2 x   d x

v = ∫ s e c 2 x   d x - ∫   1   d x

  v = t g x - x

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x   t g 2 x   .   d x = x . ( t g x - x ) -   ∫ ( t g x - x )   d x

= x . ( t g x - x ) -   ∫ t g   x   d x - ∫ x   d x

= x . t g x - x 2 - ∫ t g   x   d x + x 2 2

= x . t g x - x 2 2 - ∫ t g   x   d x

Para poder resolver ∫ t g   x   d x utilizamos o método da substituição:

∫ t g   x   d x = ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

w = cos x

dw = ( c o s   x )

dw = - s e n   x dx

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que - 1 - 1 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

- 1 - 1   ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

= - ∫ - s e n   x cos ⁡ x d x

substituituimos w = cos x e dw = - s e n   x dx

= - ∫ 1 w d w

= -   l n w

Por fim retornamos para o valor original

= -   l n cos ⁡ x  

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ t g   x   d x

= x . t g x - x 2 2 - ∫ t g   x   d x

= x . t g x - x 2 2 - ( -   l n cos ⁡ x   )

x . t g x - x 2 2 +   l n cos ⁡ x  

Passo 3

Por fim calculamos como integral definida de 0 a π 3

∫ 0 π 3 x . t g 2 x   d x   = x . t g x - x 2 2 +   l n cos ⁡ x   0 π 3

= π 3 . t g π 3 - π 3 2 2 +   l n cos ⁡ π 3   - 0 . t g 0 - 0 2 2 +   l n cos ⁡ 0  

= π 3 . 3 - 1 2 . π 2 9 +   l n 1 2 - ln ⁡ 1

= π 3 . 3 - π 2 18 - ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 π 3 x . t g 2 x   d x   = π 3 . 3 - π 2 18 - ln ⁡ 2

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