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Calcule a integral.

∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x

Passo 1

Essa é uma daquela integrais que você vai mais odiar na vida: vamos ter que aplicar partes algumas vezes...

Relembrando a técnica de integração por partes, temos que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Na primeira aplicação, vamos tomar u = x 3 e d v = cos ⁡ x   d x . Assim, d u = 3 x 2 d x e v = s e n   x . Portanto,

∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x = x 3 s e n   x 0 π - 3 ∫ 0 π x 2   s e n   x   d x

Note que x 3 s e n   x 0 π = π 3 s e n   π - 0 = 0 . Assim,

∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x = 3 ∫ 0 π x 2   ( - s e n   x )   d x

Passo 2

Agora vamos chamar u = x 2 ⇒ d u = 2 x   d x e d v = - s e n   x   d x ⇒ v = cos ⁡ x . Assim,

∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x = 3   x 2 cos ⁡ x 0 π - 3 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x d x = - 3 π 2 - 6 ∫ 0 π x cos ⁡ x   d x

Passo 3

Por fim, vamos tomar u = x ⇒ d u = d x e d v = cos ⁡ x   d x ⇒ v = s e n   x . Desta forma,

∫ 0 π x cos ⁡ x   d x = x   s e n   x 0 π - ∫ 0 π s e n   x   d x = 0 + cos ⁡ x 0 π = cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = - 2

Assim,

∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x = - 3 π 2 - 6 ⋅ - 2 = 12 - 3 π 2

Resposta

6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 4

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Calcule a integral. ∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ
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Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r
Calcule a integral: ∫ t sen h ⁡ m t d t