Calcule a integral.

∫ sen - 1 ⁡ x d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

∫ sen - 1 ⁡ x d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Temos:

1 sin ⁡ x e d x

Então vamos ter:

u = 1 sin ⁡ x

d v = d x

Precisamos achar d u e v . Derivando u :

d u d x = d d x 1 sin ⁡ x = 1 1 - x 2

d u = 1 1 - x 2 d x

Agora integramos pra achar v :

∫ d v = ∫ d x

v = x

Substituindo:

u v - ∫ v   d u

= x sin - 1 ⁡ x - ∫ x 1 - x 2 d x  

Passo 2

Agora integramos:

∫ x 1 - x 2 d x  

Aqui a gente vai usar substituição simples, fazendo: t = 1 - x ² , nós temos que d t = - 2 x d x , então:

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ t - 1 2 - 1 2 d t

∫ t - 1 2 - 1 2 d t = 1 2 2 t 1 2 + C

= t 1 2 + C = 1 - x 2 + C

Consequentemente,

∫ sen - 1 ⁡ x d x = x sen - 1 ⁡ x + 1 - x 2 + C

Prontinho!

Resposta

x sen - 1 ⁡ x + 1 - x 2 + C .

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