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Calcule a integral.

∫ x 2 + x + 1 x 2 + 1 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

x 2 + x + 1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

Assim,

x 2 + x + 1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

Portanto,

A x 3 + B x 2 + A + C x + B + D = x 2 + x + 1

Logo, temos que A = 0 , de modo que A + C = 1 ⇒ C = 1 . Além disso, B = 1 , o que implica D = 0 pois B + D = 1 . Assim,

x 2 + x + 1 x 2 + 1 2 = 1 x 2 + 1 + x x 2 + 1 2

Passo 2

Desta forma, a integral será

∫ x 2 + x + 1 x 2 + 1 2   d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ x x 2 + 1 2   d x

Vemos que a primeira integral é elementar e igual ao a r c t g   x . Já para a segunda integral, devemos fazer u = x 2 + 1 , de modo que d u = 2 x   d x . Assim,

∫ x x 2 + 1 2   d x = 1 2 ∫ 1 u 2 d u = - 1 2 u = - 1 2 ( x 2 + 1 )

Passo 3

Desta forma,

∫ x 2 + x + 1 x 2 + 1 2   d x = a r c t g   x - 1 2 x 2 + 1 + C

Resposta

a r c t g   x - 1 2 x 2 + 1 + C

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