Enunciado

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Calcule a integral ∫ e 3 s + 9 d s usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Como o enunciado pede iremos aplicar primeiramente o método da substituição e em seguida resolvemos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Para poder resolver ∫ e 3 s + 9 d s utilizamos, inicialmente, o método da substituição:

w   =   3 s + 9                                                    

d w   =   ( 3 s + 9 ) ’ d s

d w   =   1 2 . 1 3 s + 9 . 3   d s

d s   =   2 3 .   3 s + 9   d w

∫ e 3 s + 9 d s =   ∫ e 3 s + 9 . 2 3 .   3 s + 9   d w

=   2 3 .   ∫ e 3 s + 9 . 3 s + 9   d w

=   2 3 .   ∫ e w . w     d w

Passo 3

Agora resolvemos por partes a integral ∫ e w . w     d w . Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   w  

pois é o valor mais simples de derivar

u   =   ( w ) ’ .   d w  

d u   =   d w                        

                              d v   =   e w   .   d w                                            

  v = ∫ e w . d w

v   = e w

Substituimos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e w . w     d w = w .   e w -   ∫ e w . d w

= w .   e w -   e w

Colocamos o resultado encontrado no lugar de ∫ e w . w     d w

=   2 3 .   ∫ e w . w     d w

=   2 3 .   ( w .   e w -   e w )

=   2 e w 3 . w -   1 + c

Substituímos w = 3 s + 9

=   2 e 3 s + 9 3 . 3 s + 9 -   1 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ e 3 s + 9 d s = 2 e 3 s + 9 3 . 3 s + 9 -   1 + c

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