Enunciado

Questão: 43

Ache o centroide da região no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = s e n   x , y = cos ⁡ x e pelo eixo y.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Primeiro encontraremos a área sobre os gráficos, olhando o gráfico temos que a intersecção ocorre em x = 0 e x = π 4   , mas para comprovar fazemos cos x = sen x só ocorre em x = π 4 , não é mesmo? Logo esses são os intervalos de integração.

Passo 2

Sabemos que A = ∫ 0 π 4 ( cos ⁡ x - s e n   x )   d x   = sen x + cos x | π 4 0 = 2 - 1

Para encontrar os componentes do centroide devemos primeiro calcular Área , Mx e My , para encontrar Mx Fazemos;

Mx = 1 2 ∫ 0 π 4 ( cos ⁡ x - s e n   x )   d x  

=     1 2     ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x   d x       =       1 2     s e n   2 x   |   π 4 0       =     1 4           ,

e para encontrar My fazemos ;

My = ∫ 0 π 4 x ( cos ⁡ x - s e n   x   ) d x   , usando interação por partes, temos ;

Seja

f(x)= x derivando f’(x) = 1

g’(x) = cos x – sen x integrando g(x) = sen x + cos

Passo 3

Então;

My = ∫ 0 π 4 x ( cos ⁡ x - s e n   x   ) d x   =     x   ( s e n   x   +   c o s   x )     -     ∫ ( cos ⁡ x + s e n   x )   d x

= x (sen x + cos x) | π 4 0 - ( sen x – cos x )

= x (sen x + cos x) - sen x + cos x

Aplicando fica; My = π 4 2   - 1 .

Logo;

x ' = M x A = 1 4 2   - 1 .

Y ' = M y A =   π 4   2   - 1 .   2   - 1

Resposta

  x ' = M x A = 1 4 2   - 1 .

Y ' = M y A =   π 4   2   - 1 .   2   - 1

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