Enunciado

Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante , limitada à esquerda pelo eixo y e à direita pelas curva y = s e n ( x ) e y = c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos y = c o s ( x ) é a função que está por cima , y = s e n ( x )   é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos .Sendo assim a integral será :

∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n ( x ) d x

Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde a parte hachurada começa até o ponto de intersecção entre as duas curvas.

Passo 3

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 s e n x d x

= s e n x ​ 0 π 4 - - cos ⁡ x   ​ 0 π 4   =   s e n x ​ 0 π 4 + cos ⁡ x   ​ 0 π 4

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = s e n x ​ 0 π 4 + cos ⁡ x   ​ 0 π 4 =   s e n π 4 - s e n 0 +   c o s π 4 - c o s 0 = 2 2 - 0 + 2 2 - 1 = 2 2 + 2 2 - 1 = 2 2 2 - 1 = 2 - 1

Portanto,  

∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = 2 - 1

Resposta

Área da região entre y = c o s ⁡ ( x )   , y = s e n ( x ) ,   quando 0 ≤ x ≤ π 4 é igual à 2 - 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 81 a 88, ache a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Faça uma figura mostrando a região e um elemento retangular da área. Expresse a medida da área como o limite de um
Nos Exercícios de 81 a 88, ache a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Faça uma figura mostrando a região e um elemento retangular da área. Expresse a medida da área como o limite de um
Ache a área da região limitada pelas curvas x = y 2 e x = y 3 .
Nos Exercícios de 81 a 88, ache a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Faça uma figura mostrando a região e um elemento retangular da área. Expresse a medida da área como o limite de um
92) Ache a área da região limitada pelo laço da curvas y 2 = x 2 . ( 4 - x ) .