Enunciado

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Calcule a integral,

∫ 0 1 x 3 1 - x 2 d x  

Passo 1

Vamos encontrar primeiro a indefinida, ok? Ou seja,

∫ x 3 1 - x 2 d x

Vamos fazer a substituição

u = x 2       d u = 2 x   d x  

Sendo assim,

∫ x 3 1 - x 2 d x = ∫ 1 - u   u d u 2 = 1 2 ∫ 1 - u   u d u

Nosso problema ainda não foi resolvido né? Vamos fazer uma nova substituição

v = 1 - u         d v = - d u  

Daí,

1 2 ∫ 1 - u 2   u   d u = 1 2 ∫   v 1 2 ⋅ 1 - v   ( - d v ) = 1 2 ∫ v 3 2 d v   - ∫ v 1 2   d v  

Pela tabela,

1 2 ∫ v 3 2 d v   - ∫ v 1 2   d v   = 1 2 2 5 v 5 2 - 2 3 v 3 2 + K  

= 1 5 v 5 2 - 1 3 v 3 2 + K

Como v = 1 - u        

1 5 v 5 2 - 1 3 v 3 2 + K   =   1 5 ( 1 - u ) 5 2 - 1 3 ( 1 - u ) 3 2 + K  

Mas, u = x 2      

    1 5 ( 1 - u ) 5 2 - 1 3 1 - u 3 2 + K =   1 5 ( 1 - x 2 ) 5 2 - 1 3 ( 1 - x 2 ) 3 2 + K    

Passo 2

Vamos aplicar os limites de integração,

∫ 0 1 x 3 1 - x 2 d x   =   1 5 1 - x 2 5 2 - 1 3 1 - x 2 3 2 + K 0 1 = 0 - 0 - 1 5 - 1 3

∫ 0 1 x 3 1 - x 2 d x   =   2 15

Resposta

∫ 0 1 x 3 1 - x 2 d x   =     2 15

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